On the Theorem of the Solution of the Second Order Differential Equations

Wiih judulnya serasa paper ilmiah saja. Jadi ceritanya disuatu siang yang mendung, pernah datang seseorang kepadaku (Lha ini kok mirip redaksi Hadist XD) mahasiswa fisika bernama Konohamaru bersama problemnya mengenai teorema untuk memperoleh solusi dari persamaan differensial biasa orde-2. Jadi tak sekeren judulnya, tulisan ini sebenarnya hanyalah analisis dangkal saja bagi mereka yang sudah mengetahuinya. Pada waktu itu sebenarnya dia sudah memperoleh solusi yang tepat untuk permasalahannya, namun memperolehnya via teorema. Tentu anda tahulah bagaimana karakter seorang dosen fisika (yang rese' lagi suka menguji) ditambah lagi jika sedang berada di ruang sidang selaku penguji. Lengkaplah sudah! Nah, biar lebih jelas sebenarnya si Konohamaru sedang di sidang, namun di luar dugaannya, bukan pertanyaan benar-salah yang ditembakkan padanya melainkan justru darimana teorema yang digunakannya berasal. Alhasil bingunglah dia memikirkannya, sakitlah kepalanya. Persiapan dua bulan seakan tak berarti, terhambur susu sebelanga. Melihat mahasiswanya blank sahabat dosen yang super lagi baik hatinya (Lha ini redaksinya Mario Teguh) membolehkan Konohamaru untuk keluar sebentar alih-alih menunda sidang besok atau lusa, siapa tahu ada bantuan dari FBI atau CIA.

Untuk lebih jelasnya begini: dalam setiap persamaan differensial orde-2 biasa homogen, misalnya:

$\frac{d^2y}{dx}+5\frac{dy}{dx}+6y=0$ 

Terdapat suatu teorema disini, bahwa jika turunan suatu fungsi dikurangkan dengan fungsi tersebut sama dengan nol, maka kita dapat menebak pastilah fungsi itu berbentuk eksponensial

Anggaplah $y=e^{Dx}$

Menggunakan sebuah persamaan bantu kita dapat menuliskan $\frac{d}{dx}$ pada persamaan diatas sebagai variabel dengan orde menyatakan pangkat sebagai (misal diambil sebagai $D$):

$D^2 e^{Dx}+5D e^{Dx}+6e^{Dx}=0$

$(D^2+5D+6)e^{Dx}=0$ (Jelas bahwa suku dalam kurung adalah pembuat nol) sehingga:

$(D^2+5D+6)=0$

$D=-2$ atau $D=-3$

Maka berdasarkan teorema diperoleh solusinya, $y=Ae^{-2x}+Be^{-3x}$ (Koefisien $A$ dan $B$ muncul sebagai konsekuensi perbedaan akar-akar persamaan kuadrat).

Nah kembali ke Konohamaru, pada waktu itu dia punya soal begini (sebenarnya lupa persisnya):

 $\frac{d^2y}{dx}-3\frac{dy}{dx}-10y=0$ 

Berdasarkan teorema, dengan sangat percaya diri dia langsung menuliskan solusinya:

$y=Ae^{-2x}+Be^{5x}$

Jelas jawaban itu sudah sangat tepat. Dapat diuji dengan pembuktian terbalik:

$y=Ae^{-2x}+Be^{5x}$

$\frac{dy}{dx}=-2Ae^{-2x}+5Be^{5x}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=4Ae^{-2x}+25Be^{5x}$

Jika disubstitusi ke  $\frac{d^2y}{dx}-3\frac{dy}{dx}-10y=0$  tentunya membuahkan hasil yang membuatnya tersenyum:

$4Ae^{-2x}+25Be^{5x}-3(-2Ae^{-2x}+5Be^{5x})-10(Ae^{-2x}+Be^{5x})=0$

$4Ae^{-2x}+25Be^{5x}+6Ae^{2x}-15Be^{-5x}-10Ae^{2x}-10Be^{-5x}=0$ (Terbukti)

Akan tetapi, Konohamaru baru tersadar bahwa badai sedang menuju padanya setelah sang dosen menanyakan hal yang dia tidak kira sebelumnya. Si dosen justru mempertanyakan teoremanya! (dalam konteks menguji tentunya) yakni mengapa kita bisa langsung menuliskan $y$ sebagai bentuk eksponensial? Ternyata hal itu luput dari persiapannya dalam dua bulan terakhir. Ketar ketir berpikir keras nyaris menyerah, pertolongan pun datang. Ternyata ia dipersilakan untuk bertanya di luar ruang sidang dan kebetulan bertemu seseorang yang bisa membantunya. 

Singkat cerita, masalah pun coba diselesaikan. Jadi sebenarnya pengasumsian bentuk eksponensial itu pada dasarnya berasal dari pemisalan ketika kita hendak menggunakan persamaan bantu diatas, yaitu:

$\frac{d}{dx}=D$

Dengan beberapa langkah:

Jika dikalikan $y$ maka $\frac{dy}{dx}=Dy$ atau $\frac{dy}{y}=Ddx$

Yang jika kita integralkan

$\int \frac{dy}{y}=\int Ddx$

$ln y+C_1=Dx+C_2$ 

$lny=Dx+B$ (Untuk konstanta $C_2 - C_1=B$) 

$y=e^{Dx+B}$

$y=e^{Dx}\cdot e^B$

$y=Ae^{Dx}$

Oke, akhirnya terbukti bahwa teorema tersebut memang benar adanya, bukan sesuatu yang dibuat -buat atau dikarang seenak hati. Majulah terus Konohamaru!